[수학경시] 7/17과 9/19 중 어느게 더 클까?

$\frac{7}{17}$과 $\frac{9}{19}$ 중 어느게 더 클까?

이걸 어떻게 풀지 생각해보면 간단하다. 통분하고 빼면 된다. 하지만, 17*19를 굳이 계산해야할까?
더 간단하고 구조적인 것으로 접근하려 한다.
교차곱셈(Cross multiplication)을 활용할 수 있는데, 교차곱셈은 다음과 같은 것이다.
$$ \ \ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} 일 \ 때,\ \ \ ad=bc \ 이다 $$

마치 곱셈을 크로스로 해서 교차 곱셈이라고 하는 듯 하다. 더 깊은 원리는 통분이다.

통분을 할 때 분모의 최소공배수를 찾아서 분모를 최소공배수를 만들기 위해 필요한 것들을 곱한다.
교차곱셈도 최소공배수를 양변에 곱하는 원리다. 그럼 분모가 약분되면서 사라진다. 사실 분자만 남기는 것이다.

교차 곱셈을 이요하면 통분을 위한 분모 계산은 필요가 없다.

교차 곱셈 부등호에서도 가능할까?

부등호에서 가능하다면 활용해볼 수 있다.
숫자로 해보면, $$\frac{2}{3}<\frac{5}{4} \to \ 8 < 15$$
이라서 부등호에서도 되는 것 같다.

사실, 실제로도 된다.
교차 곱셈 원리는 분모의 최소공배수를 양변에 곱하는 것이다. 절차를 생략하고 남은 것이 교차 곱셈일 뿐이다.

부등호의 방향이 변하는 건 부등호 양변에 마이너스(-) 곱을 할 때다. 현 상황은 분모의 최소공배수는 항상 +일테니까 부등호가 변할리 없다.그럼 마이너스와 마이너스의 최소공배수를 구하면 마이너스이지 않은가? 라고 의문을 던질 수 있으나 마이너스 처리를 분자에다 할 것이라서 분모는 언제나 플러스이다.

예를 들어, $$ -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} $$
이면 마이너스는 위로 보낼 수 있다.
$$ \frac{-1}{2}<\frac{-1}{3} $$
즉, 2,3에 대한 최소공배수만 곱하게 된다.

종합하면,등호든 부등호든 알수 없지만 $\frac{7}{17} ? \frac{9}{19}$ 일지라도 교차 곱셈은 유효하다.

구해보자

교차 곱셈을 하면 $$(좌변) \ 7*19 \ ? \ 9*17 \ (우변)$$ 이다.

 

실제로 곱하면,

$$(좌변) \ 133 < 153 \ (우변)$$ 으로 우변이 더 크다.
다시 말해,

$$ \frac{7}{17} < \frac{9}{19} $$
풀었다.

 

구조적으로 가능한가?

이 숫자에 한해서만 되는지 확인해본다.
9는 7+2이고, 19도 17+2이다. 분모와 분자에 2를 더했을 경우 차이나는 경우 항상 우변이 큰지
아무 숫자를 대표하는 문자로 적용해보자.
문제를 다시 쓰면 다음과 같다.
$$ b>a \ 일때,\ \ \frac{a}{b} < \frac{a+2}{b+2} \ \ \ 인가 ? $$
좌변에서 우변을 뺄 건데 교차 곱셈을 활용하면, $$ a(b+2) - b(a+2) $$ 을 빼도 같은 얘기가 된다. (분자만 남기는 것이다)
$$ ab+2a - (ba+2b) $$
ab = ba 이다. 비교할 필요가 없다. 빼버린다.
$$ 2a - 2b <0 $$ 이다. $b>a$ 일때이므로, 0보다 작다. 즉, 가분수형태가 아니라면 항상 우변이 크다.

가분수 형태라면 좌변이 항상 크다는 것을 알 수 있다.

 

2 대신 아무 숫자 p에 대해서도 가능한지 볼 수 있다. p가 마이너스가 아닌 이상 변함없이 우변이 클 것이다. p가 마이너스이면 계산과정 중 $pa - pb$ 형태가 나올텐데 p는 마이너스이므로 -pb는 플러스가 된다. 좌우변의 부호가 뒤집힌다. 즉, 항상 좌변이 클 것이다.

굳이 구하지 않아도 되는 이유는 아는 것은 기준을 좌변에 했느냐 우변에 했느냐 이다.

사실, 좌변을 $\frac{a-2}{b-2}$ 형태로 하고 우변을 $\frac{a}{b}$와 같은 문제를 푼 것이기 때문이다. 이 관점에서 보면 좌변과 우변은 서로 바뀐 상태가 되는 것. 결국 같은 문제다.

마치며

다양하게 뻗어나갈 수 있으나 이쯤에서 마무리!