[numpy] 행렬식, 고유값 계산하기(np.linalg)

np.linalg을 이용해 행렬 계산을 해보겠습니다.

 

 

1. 행렬식(np.linalg.det(x))

행렬식을 구하는 방법입니다. 보통 행렬식이 0이 아니면 역행렬이 존재하므로 확인용으로 하거나 

지금은 파이썬으로 할 것이라 역행렬을 구할 때 행렬식을 구하고 계산해서 쓰진 않을 거지만 실제 수학계산에서는 

행렬식을 반드시 사용해주어야 합니다. 

 

예로 2x2 행렬을 해보겠습니다. 

2x2 행렬식이면  $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $ = ad-bc 로 계산이 됩니다.

 

만약 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} $ 라면 행렬식은 -4가 나옵니다.

 

import numpy as np
array = np.array([[1,2],[3,2]])
np.linalg.det(array)

 

2. 역행렬(np.linalg.inv(x))

역행렬도 간단하게 구할 수 있습니다. 다만 n차 정방행렬(nxn) 행렬일 때만 존재하니 참고하시길 바랍니다.

위에서 보인 array로 역행렬을 구해보겠습니다.

 

np.linalg.inv(array)

 

확인한다면 $ AA^{-1} = A^{-1}A = I  $ 로 할 수 있습니다. 즉, 서로 곱해서 단위행렬이 나온다면 됩니다. array.dot(inv_array)를 사용하면 확인할 수 있습니다.

 

inv_array = np.linalg.inv(array)
array.dot(inv_array)

float으로 설정해서 숫자가 복잡하게 나왔지만 $ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ 가 나오게 됩니다.

 

3. 고유값 고유벡터( eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(x))

정방행렬 A에 대해, $ Ax = \lambda x $ 이 성립하는 0이 아닌 벡터 x가 존재할 때 상수 $ \lambda $ 를 행렬 A의 고유값이라 하고 이 때의 x는 고유벡터라고 합니다.

 

손으로 계산하면 분수가 많이 나와 엄청난 시간을 소요하게 됩니다. 

그렇지만 컴퓨터로 한다면 몇 초 안에 값을 구할 수 있습니다.

 

w를 eigenvalue로 v를 eigenvector로 하고 구하면 다음과 같습니다.

w,v = np.linalg.eig(array)
print(w)

array의 eigenvalue를 구하면 -1, 4로 두개로 나옵니다. 

 

eigenvector는 두개인데 print를 하면 column 으로 나열되므로

하나씩 보려면 list처럼 인덱싱으로 불러내야 합니다.

 

print(v[:,0], v[:,1])

 

v[:,0] 은 -1에 대한 eigenvector 이고 v[:,1]은 4에 대한 eigenvector가 됩니다.

 

4. 선형연립방정식 해 구하기(np.linalg.solve(a,b))

np.linalg.solve() 를 이용해 $ AX = b $ 에 대한 식의 해를 구할 수 있습니다. 즉, X를 구하는 것입니다.

array를 다시 이용해 예제를 하나 만들어 구해보겠습니다.

 

$$ \begin{align} x_0 + 2x_1 & = 10 \\ 3x_0 +2x_1 & = 15 \end{align} $$ 에서 $ x_0, x_1 $을 구합니다.

 

a = np.array([[1,2],[3,2]])
b = np.array([10,15])
x = np.linalg.solve(a,b)
print(x)

 

5. 최소제곱의 해 구하기(b,a = np.linalg.lstsq(A,y,rcond=None)[0])

최소 제곱의 해를 구하는 방법입니다. y = a+bx 일 때 , 데이터셋에 맞게 a와 b의 적합한 계수를 구합니다.

이때 x,y 는 주어집니다.

임의로 데이터셋 x,y를 만들어 최적의 계수를 찾아보겠습니다.

 

x = np.array([0,1,2,3])
y = np.array([1,3,5,7])

A = np.vstack([x,np.ones(len(x))]).T

b, a = np.linalg.lstsq(A,y,rcond=None)[0]

print(b,a)

 

쉬운 예라서 눈으로 봐도 y = 2x+1 가 되어야 함을 볼 수 있습니다.

파이썬으로 계산해도 계수가 같은 값으로 나오는 것을 볼 수 있습니다.

 

함께 보면 좋은 글

 

[Numpy] 소수점 반올림하기(np.set_printoptions)