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[미적분] 자연상수 e의 정의

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자연로그의 밑 e

자연상수 e 또는 자연로그의 밑 e라고 불리는 수로 수학에서 π 와 함께 가장 자주 쓰는 상수라고 할 수 있습니다. 자연상수 e는 전혀 자연스럽게 생긴 수가 아닙니다. 어떤 필요에 의해 만들어진 수입니다. e가 있음으로 많은 것들을 이어나갈 수 있고 편리해졌습니다. 이번 포스팅은 자연대수 e에 대한 정의파트를 다루려고 합니다.

e의 정의

e는 사실 정의하기 나름인데 개인적으로 모델링을 할 때 도움이 많이 되는 미적분에서 전개하는 방식으로 하려고 합니다.

간단한 지수함수에 대한 미분을 구해보겠습니다.
만약 f(x)=bx라 할 때, 미분을 구하면

f(x)=limh>0f(x+h)f(x)h
=limh>0bx+hbxh
=limh>0bxbhbxh
=bxlimh>0bh1h

따라서 f(x)=bxf(0) 입니다.

즉, 지수함수를 미분하면 항상 f(0)이 따라옵니다.
이 성질을 활용하기 위해 e를 다음과 같이 정의합니다.

Defintion

e의 정의는 다음과 같습니다. 아래의 limit가 성립하는 경우입니다.
limh>0eh1h=1

미분값 구하기

이렇게 정의한 e로 자연스럽게 미분값을 구할 수 있는데  지수함수 f(x)=ex를 만듭니다.
항상 e0=1 이므로,
limh>0f(b)f(0)h=1=f(0)

위의 예제에 의해서 지수함수의 미분은 자기자신 곱하기 f(0)을 하고 나옵니다. 그렇기 때문에 자연스럽게
ddx(ex)=ex
가 됩니다.

e를 limit로써 정의하기

가장 많이 알려진 limit로써의 e 정의입니다.
lnx 을 미분하면 1/x 입니다. 이를 이용해 e를 정의하겠습니다.
f(x)=lnx 라 하면, f(x)=1/x이고, f(1)=1이 됩니다.
따라서,
1=f(1)=limh>0f(1+h)f(1)h
=limx>0f(1+x)f(1)x
=limx>0ln(1+x)ln(1)x
=limx>0ln(1+x)1/x

따라서, 1=limx>0ln(1+x)1/x 입니다.

다음과 같이 적용할 수 있습니다.
e=e1=elimx>0ln(1+x)1/x=limx>0(1+x)1/x
여기서 n=1/x 로 치환하면
e=limn>(1+1/n)n
이 됩니다.

e의 값

위 정의대로 계산한 값을 구하면 다음과 같이 무한 소수로 나옵니다. 출저는 위키백과 입니다.

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354...

보통 약 2.78로 어림잡아서 계산합니다.

데이터목장님의
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