[미적분] 자연상수 e의 정의

자연로그의 밑 e

자연상수 e 또는 자연로그의 밑 e라고 불리는 수로 수학에서 $\pi$ 와 함께 가장 자주 쓰는 상수라고 할 수 있습니다. 자연상수 e는 전혀 자연스럽게 생긴 수가 아닙니다. 어떤 필요에 의해 만들어진 수입니다. e가 있음으로 많은 것들을 이어나갈 수 있고 편리해졌습니다. 이번 포스팅은 자연대수 e에 대한 정의파트를 다루려고 합니다.

e의 정의

e는 사실 정의하기 나름인데 개인적으로 모델링을 할 때 도움이 많이 되는 미적분에서 전개하는 방식으로 하려고 합니다.

간단한 지수함수에 대한 미분을 구해보겠습니다.
만약 $f(x)=b^x$라 할 때, 미분을 구하면

$$ f'(x) = lim_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
$$ = lim_{h->0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}$$
$$ = lim_{h->0}\frac{b^{x}b^{h}-b^x}{h} $$
$$ = b^xlim_{h->0}\frac{b^h-1}{h} $$

따라서 $f'(x) = b^xf'(0)$ 입니다.

즉, 지수함수를 미분하면 항상 $f'(0)$이 따라옵니다.
이 성질을 활용하기 위해 e를 다음과 같이 정의합니다.

Defintion

e의 정의는 다음과 같습니다. 아래의 limit가 성립하는 경우입니다.
$$ lim_{h->0}\frac{e^h-1}{h}=1 $$

미분값 구하기

이렇게 정의한 e로 자연스럽게 미분값을 구할 수 있는데  지수함수 $f(x)=e^x$를 만듭니다.
항상 $e^0=1$ 이므로,
$$ lim_{h->0}\frac{f(b)-f(0)}{h}=1=f'(0) $$

위의 예제에 의해서 지수함수의 미분은 자기자신 곱하기 $f'(0)$을 하고 나옵니다. 그렇기 때문에 자연스럽게
$$ \frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$
가 됩니다.

e를 limit로써 정의하기

가장 많이 알려진 limit로써의 e 정의입니다.
$lnx$ 을 미분하면 1/x 입니다. 이를 이용해 e를 정의하겠습니다.
$f(x)=lnx$ 라 하면, $f'(x)=1/x$이고, $f'(1)=1$이 됩니다.
따라서,
$$ 1= f'(1) = lim_{h->0}\frac{f(1+h)-f{(1)}}{h}$$
$$ = lim_{x->0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x} $$
$$ = lim_{x->0}\frac{ln(1+x)-ln(1)}{x} $$
$$ = lim_{x->0}{ln(1+x)^{1/x}} $$

따라서, $1=lim_{x->0}{ln(1+x)^{1/x}}$ 입니다.

다음과 같이 적용할 수 있습니다.
$$ e=e^1=e^{lim_{x->0}ln(1+x)^{1/x}} = lim_{x->0}(1+x)^{1/x}$$
여기서 n=1/x 로 치환하면
$$e = lim_{n->\infty}{(1+1/n)}^n $$
이 됩니다.

e의 값

위 정의대로 계산한 값을 구하면 다음과 같이 무한 소수로 나옵니다. 출저는 위키백과 입니다.

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354...

보통 약 2.78로 어림잡아서 계산합니다.