삼각함수 기본 개념

** '삼각함수'하면 어떤 이미지가 떠오르시나요?**

복잡한 공식, 꼬불꼬불한 그래프, 끝없이 이어지는 계산... 아마 많은 분들이 삼각함수를 '수학의 벽'이라고 생각하실지도 모르겠습니다. 중학교 3학년때부터 배우는 삼각비가 삼각함수의 시작인데요. 고등학교 과정부터는 어렵다는 느낌이 많이 듭니다.

 

🔍 삼각함수, 도대체 뭐길래 우리를 괴롭힐까요?

삼각함수는 각의 크기와 직각삼각형의 변의 길이 사이의 관계를 나타내는 함수입니다. 조금 더 자세히 알아볼까요?

• 삼각비의 확장: 중학교에서 배운 삼각비(sin, cos, tan)를 기억하시나요? 삼각함수는 이 삼각비를 90도를 넘는 각에 대해서도 정의할 수 있도록 확장한 개념입니다. 즉, 예각에만 적용되던 삼각비를 모든 각에 대해 적용할 수 있게 된 것이죠.
• 좌표평면과의 만남: 삼각함수를 이해하기 위해서는 좌표평면과 원의 개념을 함께 생각해야 합니다. 반지름이 1인 원(단위원)을 좌표평면 위에 그리고, 원점으로부터 각도 θ만큼 회전한 동경이 원과 만나는 점의 좌표를 (x, y)라고 할 때, sin θ = y, cos θ = x로 정의합니다. 이를 통해 우리는 각 θ에 대한 sin 값과 cos 값을 구할 수 있습니다.
  좌표평면 안으로 삼각함수를 그릴 수 있다는건 모든 각에 대해서 우리가 수치적으로 분석할 수 있다는 의미가 됩니다. 아주 중요합니다. 도형을 그려야만 삼각비를 알 수 있었지만 좌표평면에서 그래프로 그려내기만 한다면 수치적으로 모든 걸 해석할 수 있게 되었습니다.
• 직각삼각형의 숨겨진 비밀: 삼각함수는 직각삼각형의 변의 길이 비율을 나타내는 삼각비에서 출발했습니다. 빗변의 길이에 대한 높이의 비율은 sin 값, 빗변의 길이에 대한 밑변의 비율은 cos 값, 밑변의 길이에 대한 높이의 비율은 tan 값으로 표현됩니다.

📍 핵심 정리: 삼각함수는 각의 크기와 직각삼각형의 변의 길이 사이의 관계를 나타내는 함수이며, 삼각비를 확장하여 모든 각에 대해 적용할 수 있도록 만든 개념입니다.

📈 삼각함수 그래프

삼각함수의 그래프는 마치 파도처럼 율동(?)적인 곡선으로 이루어져 있습니다. sin, cos, tan 각각의 그래프는 고유한 특징을 가지고 있어 삼각함수의 성질을 시각적으로 파악할 수 있습니다.

 

y = sin x 그래프: sin x 그래프는 원점을 기준으로 위아래로 반복되는 파동 모양을 띕니다.

• 주기: 2π (360도) - 그래프가 2π 간격으로 반복됩니다.
• 정의역: 실수 전체 - 모든 실수 값에 대해 정의됩니다.
• 치역: -1 ≤ y ≤ 1 - y 값은 -1과 1 사이에서만 존재합니다.
• 최댓값: 1, 최솟값: -1
• 원점 대칭: 원점을 기준으로 대칭적인 모양을 갖습니다.

 

 

y = cos x 그래프: cos x 그래프는 y축을 기준으로 좌우 대칭인 파동 모양을 띕니다.

• 주기: 2π (360도) - 그래프가 2π 간격으로 반복됩니다.
• 정의역: 실수 전체 - 모든 실수 값에 대해 정의됩니다.
• 치역: -1 ≤ y ≤ 1 - y 값은 -1과 1 사이에서만 존재합니다.
• 최댓값: 1, 최솟값: -1
• y축 대칭: y축을 기준으로 대칭적인 모양을 갖습니다

 

 

• y = tan x 그래프: tan x 그래프는 점근선을 가지며, 주기적으로 반복되는 독특한 모양을 띕니다.
  • 주기: π (180도) - 그래프가 π 간격으로 반복됩니다.
  • 정의역: (2n+1)π/2 (n은 정수)를 제외한 실수 전체 - 특정 값에서 정의되지 않습니다.
  • 치역: 실수 전체 - 모든 실수 값을 가질 수 있습니다.
  • 점근선: x = (2n+1)π/2 (n은 정수) - 그래프가 특정 선에 한없이 가까워집니다.

 

 

🌐 삼각함수, 우리 생활 곳곳에 숨어있다!

삼각함수는 수학 문제를 푸는 데만 사용되는 것이 아닙니다. 우리 생활 곳곳에서 다양한 형태로 활용되고 있습니다. 고대에도 쓰였던 삼각비가 아직도 쓰이고 있습니다. 고대의 역사를 알고 싶다면 아래 포스팅을 참고해주세요!

 

고대에도 삼각비를 사용했다고? 고대 삼각비의 역사

 

• 항해: 배가 항해할 때, 현재 위치와 목적지까지의 거리를 계산하는 데 삼각함수가 사용됩니다.
• 건축: 건물을 설계할 때, 각도와 길이를 정확하게 계산하여 안전하고 아름다운 건축물을 짓는 데 삼각함수가 활용됩니다.
• 음향: 소리의 파동을 분석하고, 악기를 설계하는 데 삼각함수가 사용됩니다.
• 전자기학: 전자기파의 특성을 분석하고, 통신 시스템을 설계하는 데 삼각함수가 활용됩니다.
• GPS: GPS 시스템은 위성과의 거리를 측정하여 사용자의 위치를 파악하는데, 이 과정에서 삼각함수의 원리가 적용됩니다.

💡 삼각함수 학습 꿀팁

• 기본 개념 확실히 다지기: 삼각함수의 기본 개념을 정확하게 이해하는 것이 중요합니다.
• 다양한 문제 풀어보기: 다양한 유형의 문제를 풀어보면서 문제 해결 능력을 키우세요.
• 그래프 활용하기: 그래프를 이용하여 삼각함수의 성질을 시각적으로 이해하면 더욱 쉽게 학습할 수 있습니다.
• 실생활 예시 찾아보기: 삼각함수가 실제로 어떻게 활용되는지 찾아보면서 학습 동기를 높이세요.

🎯 마치며 

이 글을 통해 삼각함수에 대한 두려움을 조금이나마 덜어내셨기를 바랍니다. 삼각함수는 단순한 수학 개념이 아닌, 우리 생활과 밀접하게 관련된 중요한 도구입니다. 처음엔 어렵지만 원리를 알면 금방 할 수 있는 것이 삼각함수이니 꾸준히 공부하면 쉽게 느껴지실 겁니다.

 

참조 목록

• 위키백과 - 삼각함수: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98
• 나무위키 - 삼각함수: https://namu.wiki/w/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98

 

 

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