삼각함수의 최대,최소 그리고 주기

삼각함수의 최대,최소 그리고 주기

이번 포스팅은 삼각함수의 최대, 최소, 주기, 심지어 절댓값 그래프까지 알아볼까 합니다. 고등학교 교과서에 나와있는만큼 친숙한 내용이니 잘 따라오실 것이라 생각됩니다.

 

 

삼각함수, '최대/최소'의 비밀 🗝️

삼각함수를 이해하는 데 가장 중요한 개념 중 하나는 바로 최대/최소입니다. 삼각함수의 최대/최소를 알아야 그래프를 그리고, 함수의 특징을 파악하고, 더 나아가 복잡한 문제까지 해결할 수 있죠.

 

1. 사인(sin)과 코사인(cos) 함수의 최대/최소:

가장 기본적인 형태인 y = sin(x)와 y = cos(x)를 살펴볼까요? 이 함수들은 -1과 1 사이를 끊임없이 반복하는 파동을 그립니다. 따라서,

• 최댓값: 1
• 최솟값: -1

그렇다면 y = asin(bx + c) + d 와 같이 변형된 형태는 어떨까요? 간단한 규칙만 알면 쉽게 구할 수 있습니다.

• 최댓값: |a| + d
• 최솟값: -|a| + d

예시: y = 3sin(2x - π/2) + 1 의 최대/최소는?

• 최댓값: |3| + 1 = 4
• 최솟값: -|3| + 1 = -2

2. 탄젠트(tan) 함수의 최대/최소:

탄젠트 함수는 사인, 코사인 함수와는 조금 다릅니다. 탄젠트 함수는 특정한 값에 한없이 가까워지지만, 그 값에 도달하지는 않는 '점근선'을 가지고 있기 때문입니다. 따라서,

• 최댓값: 존재하지 않음 (양의 무한대로 발산)
• 최솟값: 존재하지 않음 (음의 무한대로 발산)

 

삼각함수의 주기, 반복 🔁

삼각함수의 또 다른 중요한 특징은 바로 주기입니다. 주기는 함수가 같은 형태를 반복하는 데 걸리는 최소한의 간격을 의미합니다.

1. 사인(sin)과 코사인(cos) 함수의 주기:

기본적인 형태인 y = sin(x)와 y = cos(x)의 주기는 2π입니다. 즉, 2π 간격으로 같은 모양이 반복된다는 뜻이죠.

그렇다면 y = asin(bx + c) + d 와 같이 변형된 형태의 주기는 어떻게 구할까요? 바로 x 앞에 곱해진 계수 'b'를 이용하면 됩니다.

• 주기: 2π / |b|

예시: y = 2cos(3x + π/4) - 1 의 주기는?

• 주기: 2π / |3| = 2π/3

2. 탄젠트(tan) 함수의 주기:

탄젠트 함수의 주기는 사인, 코사인 함수와는 조금 다릅니다. 탄젠트 함수의 주기는 π입니다.

y = atan(bx + c) + d 와 같이 변형된 형태의 주기는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

• 주기: π / |b|

예시: y = tan(2x - π/3) + 2 의 주기는?

• 주기: π / |2| = π/2

절댓값 삼각함수, 그래프 마스터하기 📈

절댓값이 포함된 삼각함수 그래프는 왠지 모르게 더 복잡해 보이죠? 하지만 몇 가지 규칙만 기억하면 쉽게 그릴 수 있습니다.

1. y = |sin(x)|, y = |cos(x)| 그래프:

❘sinx❘

 

❘cosx❘

 

함숫값 전체에 절댓값이 씌워진 경우, x축 아래에 있는 부분을 x축을 기준으로 접어 올리면 됩니다. 즉, 음수 값을 갖는 부분을 양수로 만들어주는 것이죠. 이렇게 하면 주기가 원래 함수의 절반으로 줄어듭니다.

• y = |sin(x)| 의 주기: π
• y = |cos(x)| 의 주기: π

2. y = sin(|x|), y = cos(|x|) 그래프:

x에만 절댓값이 씌워진 경우, x가 양수인 부분의 그래프를 y축에 대해 대칭시키면 됩니다. 즉, y축을 기준으로 좌우 대칭인 그래프가 만들어지는 것이죠.

이 경우, 함수의 주기는 변하지 않습니다.

 

 

참고 자료:

• 위키백과 - 삼각함수: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98

문제 풀이로 실력 다지기 💪

이론만 알아서는 안 되겠죠? 이제 문제 풀이를 통해 배운 내용을 복습하고, 실력을 다져봅시다!

문제 1: 다음 함수의 최대, 최소, 주기를 구하시오.

y = -2sin(x/2 + π/6) + 3

풀이:

• 최댓값: |-2| + 3 = 5
• 최솟값: -|-2| + 3 = 1
• 주기: 2π / |1/2| = 4π

문제 2: 다음 함수의 그래프를 그리시오.

y = |cos(2x)|

풀이:

1. y = cos(2x)의 그래프를 그린다. (주기는 π)
2. x축 아래에 있는 부분을 x축을 기준으로 접어 올린다.
3. 최종 그래프 완성! (주기는 π/2)

문제 3: 함수 f(x) = asin(bx + c) + d 의 최댓값이 5, 최솟값이 1, 주기가 π일 때, a, b, d 값을 구하시오. (단, a > 0, b > 0)

풀이:

• 최댓값 = a + d = 5
• 최솟값 = -a + d = 1
• 주기 = 2π / b = π

위 세 식을 연립하여 풀면, a = 2, b = 2, d = 3

 

삼각함수, 자신감 UP! 🎉

삼각함수의 최대/최소, 주기, 절댓값 그래프까지, 핵심 개념들을 꼼꼼하게 살펴봤습니다. 꾸준히 복습하고, 다양한 문제를 풀어보면서 여러분의 것으로 만드세요! 다음에는 더 유익하고 재미있는 수학 이야기로 돌아오겠습니다!