갈루아 표현 이론: 대칭성 표현

갈루아 표현 이론: 대칭의 언어로 

에바리스트 갈루아

1832년, 20세의 젊은 프랑스 수학자 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)가 결투 전야에 남긴 수학적 아이디어는 훗날 현대 대수학의 토대가 되었습니다. 그가 발견한 갈루아 이론은 방정식의 해법과 대칭성 사이의 깊은 연결을 보여주었고, 이는 20세기에 들어 표현이론으로 자리잡았습니다.

갈루아 표현 이론은 갈루아의 원래 아이디어를 현대 수학의 언어로 재해석하고 확장한 것입니다. 이 이론은 수론, 대수기하학, 그리고 현대 수학의 가장 깊은 문제들을 해결하는 핵심 도구가 되었습니다.

갈루아 군: 대칭성의 수학적 언어

갈루아 표현 이론을 이해하기 위해서는 먼저 갈루아 군의 개념을 이해해야 합니다.

수체 확대 K/F가 주어졌을 때, 갈루아 군 Gal(K/F)는 K의 자기동형사상들 중에서 F의 모든 원소를 고정시키는 것들의 집합입니다. 이는 본질적으로 확대 K의 "대칭성"을 기술하는 군입니다.

예를 들어, ℚ(√2)/ℚ의 갈루아 군을 생각해봅시다. 이 확대에서는 두 가지 자기동형사상이 있습니다:

• 항등사상: √2 → √2
• 켤레사상: √2 → -√2

이 두 사상은 Z/2Z ≅ {1, -1}과 같은 구조를 가진 군을 형성합니다.

표현 이론의 등장

표현 이론은 추상적인 군을 선형대수학의 언어로 연구하는 분야입니다. 군 G의 표현이란 G에서 어떤 벡터공간의 가역선형변환군으로의 준동형사상을 말합니다.

수학적으로 표현하면, 표현 ρ는 다음과 같습니다:
$$ρ: G → GL(V)$$

여기서 GL(V)는 벡터공간 V의 가역선형변환들의 군입니다.

갈루아 표현은 이 개념을 갈루아 군에 적용한 것입니다. 즉, 갈루아 군이 어떤 벡터공간에 선형변환으로 작용하는 방식을 연구하는 것입니다.

갈루아 표현의 정의와 예시

정의: 수체 F에 대한 갈루아 표현은 절대 갈루아 군 Gal(F̄/F)에서 어떤 유한차원 벡터공간의 일반선형군으로의 연속 준동형사상입니다.

$$ρ: Gal(F̄/F) → GL_n(K)$$

여기서 F̄는 F의 대수적 폐체이고, K는 어떤 체(보통 ℚ_p, ℂ, 또는 유한체)입니다.

1차원 표현: 문자 (Characters)

가장 간단한 갈루아 표현은 1차원 표현들입니다. 이들은 문자(character)라고 불리며, 갈루아 군에서 K*로의 준동형사상입니다:

$$χ: Gal(F̄/F) → K*$$

예를 들어, ℚ에서 쿼드라틱 문자는 다음과 같이 정의됩니다:

• χ(σ) = 1 if σ는 √d를 √d로 보냄
• χ(σ) = -1 if σ는 √d를 -√d로 보냄

2차원 표현: 타원곡선의 세계

타원곡선 E/ℚ가 주어졌을 때, 그 n-torsion 점들 E[n]은 갈루아 군의 자연스러운 작용을 받습니다. 이는 2차원 갈루아 표현을 만들어냅니다.

$$ρ_E,n: Gal(ℚ̄/ℚ) → GL_2(ℤ/nℤ)$$

이 표현들은 타원곡선의 산술적 성질을 이해하는 데 핵심적인 역할을 합니다.

 

 

l-진 표현과 p-진 수론

현대 갈루아 표현 이론의 가장 중요한 발전 중 하나는 l-진 표현의 도입입니다.

소수 l에 대해, 타원곡선의 l^n-torsion 점들을 모두 고려하면 Tate 모듈을 얻을 수 있습니다:

$$T_l(E) = lim E[l^n]$$

이는 ℤ_l-모듈이 되며, 갈루아 군이 연속적으로 작용합니다:

$$ρ_E,l: Gal(ℚ̄/ℚ) → GL_2(ℤ_l)$$

이러한 l-진 표현들은 타원곡선의 깊은 산술적 성질을 담고 있으며, 현대 수론의 핵심 도구가 되었습니다.

세르의 추측과 모듈러성

1987년, 장-피에르 세르(Jean-Pierre Serre)는 다음과 같은 놀라운 추측을 제시했습니다.

 

"모든 홀수이고 기약인 2차원 갈루아 표현은 모듈러이다"

 

더 정확히 말하면, 유한체 𝔽_p에 값을 가지는 연속 표현
$$ρ: Gal(ℚ̄/ℚ) → GL_2(𝔽_p)$$
가 홀수이고 기약이면, 이는 어떤 모듈러 형식에서 나온다는 것입니다.

이 추측은 2008년 샨커 키룰카(Chandrashekhar Khare)와 장-피에르 윈텐베르거(Jean-Pierre Wintenberger)에 의해 증명되었습니다.

랭글랜즈 프로그램과의 연결

갈루아 표현 이론은 랭글랜즈 프로그램의 핵심 구성요소입니다. 로버트 랭글랜즈가 제시한 이 야심찬 프로그램은 다음 세 분야 사이의 깊은 연결을 제시합니다:

1. 갈루아 표현 (산술의 세계)
2. 자기형식 (해석학의 세계)
3. 대수군의 표현 (기하학의 세계)

이 프로그램의 일부가 바로 앞서 언급한 타니야마-시무라 추측이었고, 이는 페르마의 마지막 정리를 해결하는 열쇠가 되었습니다.

기하학적 갈루아 표현

알렉산드르 그로텐디크(Alexander Grothendieck)는 갈루아 표현 이론을 기하학적 맥락으로 확장했습니다. 대수적 다양체 X가 주어졌을 때, 그 에탈 코호몰로지는 자연스러운 갈루아 표현을 제공합니다:

$$H^i_ét(X, ℚ_l)$$

이는 대수기하학의 깊은 산술적 성질을 연구하는 강력한 도구가 되었습니다.

변형 이론과 현대적 발전

앤드루 와일스가 페르마의 마지막 정리를 증명할 때 사용한 핵심 도구 중 하나는 갈루아 표현의 변형 이론이었습니다.

주어진 갈루아 표현 ρ̄: Gal(ℚ̄/ℚ) → GL_2(𝔽_p)에 대해, 이를 "끌어올리는" 표현들의 공간을 연구하는 것입니다:

$$ρ: Gal(ℚ̄/ℚ) → GL_2(A)$$

여기서 A는 𝔽_p를 잉여체로 가지는 아르틴 환입니다.

이 이론을 통해 와일스는 특정 갈루아 표현이 반드시 모듈러 형식에서 나와야 함을 보일 수 있었습니다.

갈루아 표현의 현대적 응용

1. 타원곡선의 산술

• 모델 추측: 타원곡선의 컨덕터와 갈루아 표현의 성질 사이의 관계
• 버치-스위너튼-다이어 추측: L-함수의 특수값과 타원곡선의 유리점 사이의 연결

2. 산술 대수기하학

• 베일 추측: 대수적 다양체의 제타함수와 에탈 코호몰로지의 갈루아 표현
• 크리스탈린 코호몰로지: p-진 호지 이론과 갈루아 표현의 연결

3. 현대 정수론

• 이와사와 이론: 갈루아 표현의 p-진 변형과 L-함수의 특수값
• p-진 L-함수: 갈루아 표현을 통한 L-함수의 p-진 해석적 연속

 

마치며

갈루아 표현 이론은 200년 전 한 젊은 수학자의 아이디어에서 시작되어, 오늘날 현대 수학의 가장 깊고 아름다운 이론 중 하나가 되었습니다.

이 이론의 진정한 힘은 대칭성이라는 근본적인 개념을 통해 수론, 기하학, 해석학의 서로 다른 분야들을 하나로 연결한다는 점에 있습니다. 갈루아가 방정식의 해법을 위해 고안한 아이디어가, 오늘날에는 우주의 가장 깊은 수학적 구조를 탐구하는 도구가 된 것입니다.

앞으로도 갈루아 표현 이론은 수학의 새로운 지평을 여는 데 계속해서 중요한 역할을 할 것입니다. 페르마의 마지막 정리부터 현재의 밀레니엄 문제들까지, 이 아름다운 이론은 인류의 지적 탐구의 최전선에서 우리를 기다리고 있는 미지의 세계로 안내하는 나침반 역할을 하고 있습니다.

갈루아가 결투 전날 밤에 남긴 수학적 유산이 이렇게 꽃피우고 있다는 사실 자체가, 수학이라는 학문의 영원성과 아름다움을 보여주는 가장 감동적인 이야기 중 하나가 아닐까요?

 

함께 보면 좋은 글

페르마의 마지막 정리가 증명되기까지

타니야마-시무라 추측: 두 세계를 잇다