[미적분] 삼각함수 공식 총정리

삼각비

삼각비는 고대부터 전해내려오는 비율인데 고대 천문학자들이 별을 관찰하면서 생겨났습니다. 직각삼각형을 기준으로 길이비를 각각 sin, cos, tan로 만들었습니다.

 

 

$$ sinA = \frac{a}{c} \ \ \ \ cosA =\frac{b}{c} \ \ \ \ \ tanA = \frac{a}{b} $$
$$ cscA = \frac{1}{sinA} \ \ \ \ secA = \frac{1}{cosA} \ \ \ \ cotA = \frac{1}{tanA} $$

삼각비 공식

삼각비의 공식은 여러가지가 있는데 중세에서 근대로 넘어가는 시점에 삼각비를 대수적으로 표현하고 전개할 수 있는지에 대한 연구를 한때 했던적이 있는데 아래 공식은 그 결과들입니다. 덕분에 외울게 많아졌습니다.

제곱공식

$$ sin^2\alpha+cos^2\alpha = 1$$
$$ 1+tan^2\alpha = sec^2\alpha$$
$$ 1+cot^2\alpha = csc^2\alpha$$

덧셈공식

$$ sin(\alpha+\beta) = sin\alpha \ cos\beta + cos\alpha \ sin\beta $$
$$ sin(\alpha-\beta) = sin\alpha \ cos\beta - cos\alpha \ sin\beta $$
$$ cos(\alpha+\beta) = cos\alpha \ cos\beta - sin\alpha \ sin\beta $$
$$ cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \ cos\beta + sin\alpha \ sin\beta $$
$$tan(\alpha +\beta) = \frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha \ tan\beta} $$
$$ tan(\alpha-\beta) = \frac{tan\alpha+tan\beta}{1+tan\alpha \ tan\beta} $$

2배각 공식

$$ sin2\alpha = 2sin\alpha \ cos\alpha $$
$$ cos2\alpha = cos^2\alpha-sin^2\alpha = 2cos^2\alpha-1 = 1-2sin^2\alpha $$
$$tan2\alpha = \frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha} $$

3배각 공식

$$ sin3\alpha = 3sin\alpha-4sin^3\alpha $$
$$ cos3\alpha = 4cos^3\alpha-3cos\alpha $$
$$ tan3\alpha = \frac{3tan\alpha-tan^3\alpha}{1-3tan^2\alpha}
$$

반각공식

$$ sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-cos\alpha}{2} $$
$$ cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+cos\alpha}{2} $$
$$ tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha} $$

곱을 합으로 바꾸는 공식

$$ sin\alpha \ cos\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)] $$
$$ cos\alpha \ sin\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)] $$
$$ cos\alpha \ sin\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)] $$
$$ sin\alpha \ sin\beta = -\frac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)] $$

합을 곱으로 바꾸는 공식

$$ sin\alpha +sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2} $$
$$ sin\alpha-sin\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2} $$
$$ cos\alpha+cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2} $$
$$ cos\alpha-cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2} $$

합성공식

$$ asin\alpha+bcos\alpha = \sqrt{a^2+b^2}sin(\alpha+\beta)
\( cos\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})
$$

$$ asin\alpha+bcos\alpha = \sqrt{a^2+b^2}cos(\alpha-\beta)
\(cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, sin\beta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$$

마치며

더 많은 공식이나 해당 공식의 증명을 보고싶다면 나무위키에서 참고하시면 좋을 것 같습니다.

삼각함수덧셈정리 나무위키