[수학경시] 평균속도 조화평균으로 쉽게 구하기

평균속도 조화평균으로 쉽게 구하기

평균속도를 계산하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 기본적인 방법도 있고, 더 간단하고 우아한 방법도 있죠. 오늘은 조화평균을 활용해서 평균속도를 훨씬 쉽게 구하는 방법을 알아보겠습니다.

기본적인 평균속도 계산법

서울에서 부산까지 400km를 운전한다고 가정해봅시다.

• 전반 200km: 시속 100km로 운전
• 후반 200km: 시속 50km로 운전

일반적인 계산 과정

1. 전반 200km 소요시간: 200 ÷ 100 = 2시간
2. 후반 200km 소요시간: 200 ÷ 50 = 4시간
3. 총 소요시간: 2 + 4 = 6시간
4. 평균속도 = 총거리 ÷ 총시간 = 400 ÷ 6 = 66.7km/h

이 방법도 정확하지만, 계산 단계가 많고 시간이 걸립니다.

조화평균을 활용한 간단한 계산

같은 문제를 조화평균으로 바로 계산해보겠습니다.

두 속도의 조화평균 공식

평균속도 = 2 × v₁ × v₂ ÷ (v₁ + v₂)

적용

평균속도 = 2 × 100 × 50 ÷ (100 + 50)
         = 10,000 ÷ 150
         = 66.7km/h

한 번에 바로 답이 나옵니다! 시간 계산 없이도 즉시 결과를 얻을 수 있어요.

왜 조화평균이 더 쉬울까?

1. 계산 단계 단축

• 기본 방법: 거리→시간→총시간→평균속도 (4단계)
• 조화평균: 속도→평균속도 (1단계)

2. 암산 가능

간단한 수치라면 머릿속으로도 계산할 수 있습니다.

예: 시속 60km와 시속 30km로 같은 거리를 운전

평균속도 = 2 × 60 × 30 ÷ (60 + 30) = 3,600 ÷ 90 = 40km/h

3. 공식 하나로 해결

여러 속도가 있어도 조화평균 공식 하나면 충분합니다.

다양한 상황별 적용

예시 1: 왕복 드라이브

• 갈 때: 시속 80km
• 올 때: 시속 40km (교통체증)

평균속도 = 2 × 80 × 40 ÷ (80 + 40) = 6,400 ÷ 120 = 53.3km/h

예시 2: 3구간 동일 거리 여행

시속 90km, 60km, 45km로 각각 같은 거리를 이동

3개 속도의 조화평균

평균속도 = 3 ÷ (1/90 + 1/60 + 1/45)

분수 계산을 쉽게 하려면 공통분모를 찾습니다:

1/90 + 1/60 + 1/45 = 2/180 + 3/180 + 4/180 = 9/180 = 1/20
평균속도 = 3 ÷ (1/20) = 60km/h

예시 3: 실용 문제

배달 기사가 같은 거리의 3개 구역을 담당한다면

• A구역: 평균 시속 50km
• B구역: 평균 시속 40km
• C구역: 평균 시속 30km

전체 평균속도 = 3 ÷ (1/50 + 1/40 + 1/30) = 3 ÷ (6+7.5+10)/300 = 3 ÷ (23.5/300) = 38.3km/h

조화평균 빠른 공식

조화평균 = 2ab ÷ (a + b)

언제 조화평균을 사용할까?

조화평균으로 평균속도를 구할 수 있는 조건:

• 같은 거리를 서로 다른 속도로 이동할 때
• 왕복 여행에서 갈 때와 올 때 속도가 다를 때
• 여러 구간의 거리가 동일할 때

결론

조화평균을 활용하면 평균속도 계산이 훨씬 간단해집니다. 복잡한 시간 계산 없이 속도만으로 바로 답을 구할 수 있어서, 특히 빠른 계산이 필요한 상황에서 매우 유용합니다.

 

기억하기 쉬운 공식

 

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